Trigonometri
Yönlü Açı :
Saat Yelkovanının Dönme Yönünün Tersine Pozitif Yön, Saat Yelkovanının Dönme Yönüne De Negatif Yön Denir.
Açı ölçü Birimleri :
Derece : Bir çemberin 360 Da 1 Ini Gören Merkez Açının ölçüsü 1 Derecedir.
1 Derece 60 Dakikadır. 1 Dakika 60 Saniyedir.
1o = 60 , 1= 60
Radyan : Bir çemberin, Yarıçapının Uzunluğundaki Yayı Gören Merkez Açı 1 Radyandır.
Grad : Bir çemberin 400 De 1 Ini Gören Merkez Açının ölçüsü 1 Grattır.
Esas ölçü :
Derece Cinsinden Bir Açının 360o Ye Bölümünden Kalan, Derece Cinsinden Esas ölçü, Radyan Cinsinden Bir Açının 2 Ye Bölümünden Kalan, Radyan Cinsinden Esas ölçü Adını Alır.
Trigonometrik Fonksiyonlar :
Açının Sinüsü Ve Kosinüsü:
Birim çember üzerinde, Aop Açısını Gözönüne Alalım. P Noktasının Apsisine Açının Kosinüsü, Ordinatına Da Açının Sinüsü Denir.
X0 = Cos , Y0 = Sin
Sonuç :
1. P Noktası çember üzerinde Ve Yarıçapı 1 Birim Olduğu Için;
-1 Cos 1 Veya Cos : R [-1,1] Dir.
Yani Kosinüs Fonksiyonunun Tanım Kümesi R, Görüntü Kümesi [-1,1] Dir. Aynı şekilde;
-1 Sin 1 Veya Sin : R [-1,1] Dir.
Yani Sinüs Fonksiyonunun Tanım Kümesi R, Görüntü Kümesi [-1,1] Dir.
2. X0 = Cos Ve Y0 = Sin Olduğuna Göre; Cos2 + Sin2= 1 Dir.
Açının Tanjantı Ve Kotanjantı :
Birim çemberin A Noktasındaki Teğetini Inceleyelim. Bu Durumda T Bir Reel Sayı Olmak üzere, T(1,t) Noktası Teğetin üzerindedir. T Noktasının Ordinatına Aot Açısının Tanjantı Denir. T = Tan Dir.
Sonuç :
T(1,t) Noktası Teğet üzerindeki Herhangi Bir Nokta Için, T Herhangi Bir Nokta Olabilir. Dolayısıyla;
T={ Ir Ve /2 +k, K Z } Için Tan : T R Dir.
Yani Tanjant Fonksiyonunun Tanım Kümesi (/2 +k) Hariç Bütün Gerçel Sayılar, Görüntü Kümesi R Dir.
K={ Ir Ve k, K Z } Için Cot : K R Dir.
Yani Tanjant Fonksiyonunun Tanım Kümesi (k) Hariç Bütün Gerçel Sayılar, Görüntü Kümesi R Dir.
Birim çember :
Merkezi Orijinde Olan Ve Yarıçapı 1 Birim Olan çemberdir.
-1 Cos 1
-1 Sin 1
Oap üçgeninde ; Cos = |oa| = Cos ( +k2 ) Ve Sin = |ap| =|ob|= Sin ( +k2 )
X Ekseni, Cosinüs Ekseni
Y Ekseni , Sinüs Eksenidir.
Analitik Düzlemde Trigonometrik Fonksiyonların Işaretleri
Peiyodik Fonksiyonlar :
:ab Bir Fonksiyon Olsun. x a Için (x+t) =(x) Eşitliğini Sağlayan Bir T Gerçek Sayısı Varsa, Fonksiyonuna Periyodik Fonksiyon, T Gerçek Sayısına Da ’ Nin Bir Periyodu Denir. T Gerçek Sayısının En Küçüğüne Ise Esas Periyodu Denir. Buradan Hareketle;
K Z Olmak üzere Ir Için;
Cos( + K.2) = Cos Ve Sin( + K.2) = Sin Olduğundan Sinüs Ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyodu K.2 Ve Esas Periyodu 2 Dir.
Aynı şekilde;
K Z Olmak üzere /2 +k Ve Ir Için Tan( + K.) = Tan
K Z Olmak üzere k Ve Ir Için Cot( + K.) = Cot Olduğundan Tanjant Ve Kotanjant Fonksiyonlarının Periyodu K. Ve Esas Periyodu Dir.
*** Ve
M Tek Ise M çift Ise
*** Ve ,
Dik üçgende Trigonometrik Oranlar:
Abc Dik üçgeninde Trigonometrik Oranlar
Cos = = Sin Sin = = Cos
Tan = = Cot Cot = = Tan
Sec = = Csc Csc = = Sec
Tanjant Teoremi : Dir.
A( ) = .a.b.sinc
A( ) = U.r (a+b+c=2u Olmak üzere)
A( ) =
Trigonometrik Fonksiyonlarin Birbiri Cinsinden Ifadesi :
Cos X, Tan X Ve Cot X In, Sin X Cinsinden Ifadesi :
Sin X, Tan X Ve Cot X In, Cos X Cinsinden Ifadesi :
Sin X, Cos X Ve Cot X In, Tan X Cinsinden Ifadesi :
Sin X, Cos X Ve Tan X In, Cot X Cinsinden Ifadesi :
Toplam Fark Formülleri
1) Sin( + ) = Sin Cos ± Sin Cos
2) Cos( + ) = Cos Cos ± Sin Sin
3) Tan( + ) =
Yarım Açı Formülleri
1) Sin2 = 2sin Cos
2) Cos2 = Cos2 - Sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2
3) Tan2 =
Not :
Dönüşüm Formülleri
1) Sin + Sin = 2sin .cos
2) Sin - Sin = 2sin .cos
3) Cos + Cos = 2cos .cos
4) Cos - Cos = 2sin .sin
Bir üçgenin Açılarının, Sinüslerinin Toplamının Dönüşüm Formülü :
Bir üçgenin Açılarının, Cosinüslerinin Toplamının Dönüşüm Formülü :
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar :
Arcsin Fonksiyonu :
Arccos Fonksiyonu :
Arctan Fonksiyonu :
Arccot Fonksiyonu :
Trigonometrik Denklemler:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Kök Formülleri :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Trigonometrik Denklemleri :
A[-1,1] Için Cosx=a Denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) Aralığında Bir Kökü Ise, ç={xx=+2k Veya X= - +2k, Kz} Olur.
örnek:
Cosx=1/2 Denkleminin çözüm Kümesini Bulalım.
[0,2) Aralığında Kosinüsü 1/2 Olan Gerçek Sayılar /3 Ve -/3 Olduğu Hatırlanırsa;
ç={xx=/3+2k Veya X=-/3+2k, Kz} Olarak Bulunur.
örnek :
Cosx=2/2 Denkleminin çözüm Kümesini Bulalım.
[0,2) Aralığında Kosinüsü 2/2 Olan Gerçek Sayılar /4 Ve -/4 Olduğu Hatırlanırsa;
ç={xx=/3+2k Veya X=-/3+2k, Kz} Olarak Bulunur.
A[-1,1] Için Sinx=a Denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) Aralığında Bir Kökü Ise, ç={xx=+2k Veya X= ( - ) +2k, Kz} Olur.
örnek:
Sinx=3/2 Denkleminin çözüm Kümesini Bulalım.
[0,2) Aralığında Sinüsü 3/2 Olan Gerçek Sayılar /3 Ve -/3 Olduğu Hatırlanırsa;
ç={xx=/3+2k Veya X=-/3+2k, Kz} Olarak Bulunur.
örnek :
Sinx=0 Denkleminin çözüm Kümesini Bulalım.
[0,2) Aralığında Sinüsü 0 Olan Gerçek Sayılar 0 Ve Olduğu Hatırlanırsa;
ç={xx=k, Kz} Olarak Bulunur.
Ar Için Tanx=a Denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) Aralığında Bir Kökü Ise, ç={xx=+k, Kz} Olur.
örnek:
Tanx=3 Denkleminin çözüm Kümesini Bulalım.
[0,2) Aralığında Sinüsü 3/2 Olan Gerçek Sayılar /3 Ve /3 + Olduğu Hatırlanırsa;
ç={xx=/3+k, Kz} Olarak Bulunur.
Ar Için Cotx=a Denkleminin çözümü :
Denklemin [0,2) Aralığında Bir Kökü Ise, ç={xx=+k, Kz} Olur.
örnek :
örnek :
Cosx+3sinx=0 Denklemini çözün.
Olur. Buradan çözüm Kümesi;
ç={x: }
NOT: Sitedeki dosyalar üye olmak için öğrencilerin, öğretmenlerin,
Akademisyenlerin gönderdiği dosyalardan oluşmaktadır. Tümü Eğitim ve öğretim
amaçlıdır. Bu dosyaların tümünün editörden kontrol edilerek geçirilmesi yoğun
bir emek gerektiğinden, gözden kaçmış olanlar olabilir. Ayrıca bir üyemiz
tarafından gönderilen bir dosyanın telif hakkına tabi olup olmadığını her
durumda tespit edemeyebiliriz. Böyle bir durumu fark etmeniz halinde dosyanın
siteden kaldırılması için dosya adını bize mail atmanız halinde İlgili dosya 1 saat içerisinde ivedilikle
siteden kaldırılır ve kaldırıldığına dair bilgilendirme size mail yolu ile bilgi
verilir.
Telif haklarına gösterilen özen konusunda bize yardımcı olduğunuz için teşekkür ederiz..
